1 Uzupełnienie wiadomości o granicach ciągu Wstęp do analizy, uzupełnienie wiedzy z klasy I,II Wyświetl 2 Granica funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica funkcji w punkcie. Wyświetl 3 Obliczanie granic funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak obliczać trudniejsze rodzaje granic funkcji w punkcie. Wyświetl 4 Granice jednostronne funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica jednostronna funkcji w punkcie. Wyświetl 5 Granice funkcji w nieskończoności W tym temacie nauczysz się liczyć granice funkcji w nieskończonościach. Wyświetl 6 Granice niewłaściwe funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest granica niewłaściwa funkcji. Wyświetl 7 Ciągłość funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Wyświetl 8 Ciągłość funkcji w zbiorze Wiesz już jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Tym razem rozpatrzymy ciągłość funkcji w zbiorze. Wyświetl 9 Asymptoty wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest asymptota wykresu funkcji. Wyświetl 10 Pochodna funkcji w punkcie W tym nauczysz się obliczać pochodną funkcji w punkcie. Wyświetl 11 Funkcja pochodna Wiesz już w jaki sposób obliczamy pochodną funkcji w punkcie. W tym temacie poszerzysz swoją wiedzę na temat pochodnych. Wyświetl 12 Styczna do wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się jak wyznaczyć wzór stycznej do dowolnej funkcji przy użyciu rachunku pochodnych. Wyświetl 13 Ekstrema lokalne funkcji W tym temacie poznasz uniwersalną metodę liczenia ekstremów dowolnej funkcji. Wyświetl 14 Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale W tym temacie dowiesz się w jaki sposób wskazać największą oraz najmniejszą wartość funkcji w pewnym przedziale. Wyświetl 15 Badanie przebiegu zmienności funkcji W oparciu o poprzednie działy jesteś w stanie sporządzić poglądowy rysunek dowolnej funkcji. W tym temacie dowiesz się jak to zrobić. Wyświetl 16 Zadania optymalizacyjne Istotą zadań optymalizacyjnych jest wyznaczenie jak najlepszej (najbardziej optymalnej) wartości pewnej funkcji w danym kontekście. W tym dziale znajdziesz przykłady tego typu zadań wraz z ich rozwiązaniami. Wyświetl 17 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji W tym temacie dowiesz się w jakim celu korzysta się z pochodnej w zadaniach dotyczących monotoniczności funkcji. Wyświetl
Pani Elwira została delegowana przez polską firmę do pracy w Holandii. Będzie wykonywać pracę kolejno lub jednocześnie w dwóch lub więcej firmach. Praca w dalszym ciągu będzie wykonywana dla polskiej firmy. Pani Elwira będzie objęta polskimi przepisami. Jak liczyć okres 24 miesięcy
Twierdzenie zbieżny ma tylko jedną przeciwnie, ciąg nieskończony an będzie zbieżny do dwóch granic a i b (a≠b). Weźmy Ƹ = > |a-b|, (zauważ Ƹ>0). Zgodnie z definicją granicy ciągu większość wyrazów ciągu leży w przedziale (a- Ƹ, a+ Ƹ) oraz (b- Ƹ, b+ Ƹ), ale to jest niemożliwe bo przedziały wcześniej podane są rozłączne. Uzyskaliśmy sprzeczność, co udowodniło, że ciąg zbieżny ma tylko jedną twierdzenia dotyczą liczenia nieskończony ciąg an jest ciągiem stałym i an=a, to ciąg an jest zbieżny i Twierdzenie i an≥ 0 dla każdej liczby n, to .Przykład że i Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej n dla każdej liczby naturalnej dodatniej n Na podstawie twierdzenia 3 mamy: Twierdzenie |q|0, to ciąg nieskończony an o wyrazie ogólnym an=, n>1, jest zbieżny i Twierdzenie 7. (o trzech ciągach)Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone an, bn, cn, oraz istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest nierówność , to .Przykład granicę Dla każdej liczby naturalnej dodatniej poniższa nierówność jest prawdziwa:,Czyli Ponadto Zatem na mocy twierdzenia 7:Zadania o zrobienia 1. Wyznacz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = 4 b) an = 3 + Odp. a) 12 b) 32. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = Odp. a) b) 3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = c) an = Odp. a) 1 b) -7 c) -1
Granice funkcji – wzory, przykłady, zadania. Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji. Liczba jest granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba taka, że dla wszystkich jeśli to . Liczba jest granicą funkcji w punkcie jeśli dla każdego ciągu zbieżnego do o wyrazach
Dzięki za pomoc. Doczytałem jeszcze trochę na ten temat. I zauważyłem że metoda obliczania granicy bardziej złożonych ciągów polega na przekształcaniu ich przy pomocy twierdzeń o ciągach w taki sposób, by "wydzielić" ciągi elementarne które się mnożą, dzielą etc (wiem że używam nieformalnego języka skrajnie). I w tym momencie mam zagwozdkę. O ile twierdzenia o ciągach da się znaleźć w 30 sek w google i w każdym podręczniku matematyki, to mam problem ze znalezieniem granic ciągów "elementarnych". Chodzi o np: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} \frac{1}{n}}\) - tu udało się mnie doczytać że to \(\displaystyle{ 0}\) W waszym kompendium znalazłem: (sorka że trochę przyśmiecę wam latexem ) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n = e \\ \\ \lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e} \\ \\\\ \lim_{n\to\infty} (1+\frac{a}{n})^n = e^a, \hspace{10} a \in R \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} =1 \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1, \hspace{10} a>0 \\ \\ \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \hspace{10} a>0 \\ \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a^n= \begin{cases} 0, \hspace{10} a \in (0; 1) \\ \\ 1, \hspace{10} a= 1 \\ \\ +\infty, \hspace{10} a>1 \end{cases} \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \wedge \lim_{n\to\infty} b_n = B \wedge B > 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_nb_n = +\infty \\ \\ a_n = +\infty \wedge \lim_{n\to\infty} b_n = B \wedge B < 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_nb_n = -\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = +\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = +\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = -\infty\\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = -\infty \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \hspace{5} \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = -\infty}\) Jest powyższy wykaz częściowo zgodny z tym o co mi chodzi. Ale nie rozumiem paru rzeczy. \(\displaystyle{ e}\) - jak wyznaczyć "e"? A jak w przypadku ciągu stałego? Wyznaczyć granicę?
. 389 440 134 234 400 341 295 423
jak liczyć granice ciągu
